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好的，我现在要解这道关于二次函数的题目，用户让我详细扒出所用的数学公式。首先，我需要回忆一下二次函数的相关知识。题目是给定f(x)=2x²−4x+1，然后分三部分来解答。
首先，第一部分是求对称轴方程和顶点坐标。二次函数的一般形式是f(x)=ax²+bx+c，我记得对称轴的公式是x=-b/(2a)。这里a=2，b=-4，代入进去的话应该是x=-(-4)/(22)=4/4=1，所以对称轴是x=1。顶点坐标的话，应该是（h,k），其中h就是对称轴的x值，也就是1，k就是f(h)。所以这里代入x=1，计算f(1)=2(1)^2−4*1+1=2−4+1=-1，所以顶点坐标是(1,-1)。这部分用到了对称轴公式和顶点的计算方法，可能需要确认一下是否正确。
第二部分是判断单调性，也就是函数在哪些区间上递增或递减。二次函数开口方向由a的符号决定，这里a=2>0，所以开口向上。那么对称轴左侧（x<1）应该是递减的，右侧（x>1）递增。所以单调递减区间是(-∞,1)，递增区间是(1,+∞)。这里需要用到开口方向对单调性的影响，以及对称轴的位置来确定区间。
第三部分是求区间[-1,3]上的最大值和最小值。因为开口向上，顶点是最小值点，所以在x=1处取得最小值-1。最大值的话，在闭区间上，需要比较端点处的函数值。计算f(-1)=2*(-1)^2−4*(-1)+1=2+4+1=7，f(3)=2*(3)^2−4*3+1=18−12+1=7。所以最大值是7，在x=-1和x=3处都取得。这里用到了二次函数在闭区间上的最值求法，需要考虑顶点是否在区间内，以及端点的值。因为顶点在区间[-1,3]内，所以最小值在顶点，最大值在端点，但这里两个端点都得到7，所以最大值是7。
现在检查一下是否有哪里错误。比如对称轴是否正确，顶点坐标计算是否正确，开口方向是否正确，区间的端点是否包括在内，最值的计算是否准确。可能需要注意的地方是，在确定单调区间时是否应该包括等于1的情况，但通常单调性在严格递增或递减时不包含临界点，不过对于二次函数来说，顶点处导数为0，所以严格来说在x=1处既不递增也不递减，所以区间写成开区间是正确的。
公式方面，对称轴的公式x=-b/(2a)是正确的，顶点坐标的公式是(h, f(h))，而另一种表达方式也可以写成顶点式，即通过配方法将一般式转化为顶点式，即f(x)=a(x-h)^2+k，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。这里已经正确应用了。
单调性部分，开口方向由a的符号决定，开口向上则先减后增，开口向下则先增后减，这里正确应用了。最值部分，开口向上时顶点是最小值，开口向下时是最大值，闭区间上的最值需要考虑端点和顶点的比较，这里步骤正确。
总结起来，每个步骤都应用了正确的公式，但需要确认计算是否准确，尤其是在代入数值时有没有符号错误，比如b=-4，所以在对称轴公式中应该是-(-4)/(2*2)，得到正确的1。顶点坐标代入计算正确，端点计算也正确，所以应该没有问题。
以下是题目解答中涉及的数学公式和关键步骤：
(1) 对称轴方程与顶点坐标
公式：
对于二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c )，
对称轴方程：( x = -\frac{b}{2a} )
顶点坐标：( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) )
应用：
题目中 ( a = 2 )，( b = -4 )，代入公式：
对称轴方程：( x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 )
顶点坐标：代入 ( x = 1 ) 到 ( f(x) )，得 ( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 )，即顶点为 ( (1, -1) )。
(2) 单调性分析
公式：
二次函数开口方向由 ( a ) 决定：
若 ( a > 0 )，开口向上，对称轴左侧递减，右侧递增；
若 ( a < 0 )，开口向下，对称轴左侧递增，右侧递减。
应用：
本题 ( a = 2 > 0 )，开口向上，因此：
单调递减区间：( (-\infty, 1) )
单调递增区间：( (1, +\infty) )
(3) 区间 ([-1, 3]) 上的最值
公式：
闭区间上的最值需比较以下位置：
顶点值（若顶点在区间内）；
区间端点值：( f(-1) ) 和 ( f(3) )。
应用：
顶点 ( x = 1 ) 在区间 ([-1, 3]) 内，对应最小值 ( f(1) = -1 )；
端点值计算：
( f(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 7 )
( f(3) = 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 7 )
最大值：( 7 )（在 ( x = -1 ) 和 ( x = 3 ) 处同时取得）；
最小值：( -1 )（在 ( x = 1 ) 处取得）。
总结公式表 |
